هنگامی که به محیط اطراف خود نگاه می‌کنید، ممکن است به نظر آید که بر روی صفحه‌ای مسطح زندگی می‌کنید. این تصور از آنجا ناشی می‌شود که شما می‌توانید با استفاده از یک نقشه - که ورقه‌ای مسطح است - در شهری جدید راه خود را پیدا کنید و همه مکان‌های اطراف را شناسایی کنید. شاید به همین دلیل برخی در گذشته معتقد بودند زمین مسطح است. اما امروزه اکثر مردم می‌دانند که این باور با حقیقت فاصله زیادی دارد.
شما در واقع بر سطح کره‌ای عظیم زندگی می‌کنید، مشابه یک توپ ساحلی به اندازه زمین با چند برآمدگی اضافه‌شده. سطح این کره و صفحه مسطح، دو فضای ممکن دوبعدی (2D) هستند، به این معنا که شما می‌توانید در دو جهت حرکت کنید: شمال و جنوب یا شرق و غرب.
چه فضاهای دیگری ممکن است وجود داشته باشد که شما در آن زندگی کنید؟ به عبارت دیگر، چه فضاهای دوبعدی دیگری در اطراف شما وجود دارند؟ برای مثال، سطح یک دونات عظیم نیز یک فضای دوبعدی دیگر است.
از طریق شاخهای از ریاضیات به نام توپولوژی هندسی، ریاضیدانانی مانند من همه فضاهای ممکن را در همه ابعاد بررسی می‌کنند. چه در طراحی شبکه‌های حسگری امن، چه در استخراج داده‌ها یا استفاده از اوریگامی برای استقرار ماهواره‌ها، زبان و ایده‌های اساسی به احتمال زیاد از توپولوژی سرچشمه می‌گیرند.
شکل کیهان
وقتی به کیهانی که در آن زندگی می‌کنید نگاه می‌کنید، به نظر می‌رسد یک فضای سه‌بعدی (3D) باشد، همان‌طور که سطح زمین به‌عنوان یک فضای دوبعدی به نظر می‌رسد. با این حال، همانند زمین، اگر به کل کیهان نگاه کنید، ممکن است فضایی پیچیده‌تر باشد، مانند نسخه‌ای سه‌بعدی عظیم از سطح توپ ساحلی دوبعدی یا چیزی حتی عجیب‌تر از آن.
[تصویر: شکلی با یک سوراخ در وسط. دونات، که به آن توروس نیز گفته می‌شود، شکلی است که می‌توانید در دو جهت روی آن حرکت کنید، درست مانند سطح زمین ویکی‌مدیا کامانز، CC BY-NC-SA]
اگرچه برای تشخیص اینکه روی چیزی مانند یک توپ ساحلی عظیم زندگی می‌کنید به توپولوژی نیازی ندارید، شناخت همه فضاهای دوبعدی ممکن می‌تواند مفید باشد. بیش از یک قرن پیش، ریاضیدانان همه فضاهای دوبعدی ممکن و بسیاری از ویژگی‌های آنها را شناسایی کردند.
در چند دهه اخیر، ریاضیدانان اطلاعات زیادی درباره همه فضاهای سه‌بعدی ممکن به دست آورده‌اند. اگرچه درک کاملی مانند آنچه برای فضاهای دوبعدی داریم هنوز حاصل نشده است، اما دانش قابل‌توجهی وجود دارد. با این دانش، فیزیکدانان و ستاره‌شناسان می‌توانند تلاش کنند تا مشخص کنند انسان‌ها واقعاً در چه فضای سه‌بعدی زندگی می‌کنند.
اگرچه پاسخ به‌طور کامل شناخته نشده است، امکانات متعدد و شگفت‌انگیزی وجود دارد. این گزینه‌ها اگر زمان را به‌عنوان یک بُعد در نظر بگیریم، حتی پیچیده‌تر می‌شوند.
برای درک چگونگی این موضوع، فرض کنید برای توصیف مکان چیزی در فضا - مانند یک دنباله‌دار - به چهار عدد نیاز دارید: سه عدد برای توصیف موقعیت آن و یک عدد برای زمان حضورش در آن موقعیت. این چهار عدد یک فضای چهاربعدی (4D) را تشکیل می‌دهند.
اکنون می‌توانید فضاهای چهاربعدی ممکن را بررسی کنید و بفهمید در کدام‌یک از آنها زندگی می‌کنید.
توپولوژی در ابعاد بالاتر
در این نقطه، ممکن است به نظر آید دلیلی برای بررسی فضاهایی با ابعاد بیشتر از چهار وجود ندارد، زیرا این بالاترین بُعدی است که می‌توان برای توصیف کیهان ما تصور کرد. اما شاخهای از فیزیک به نام نظریه ریسمان پیشنهاد می‌کند که کیهان دارای ابعاد بسیار بیشتری از چهار است.
همچنین کاربردهای عملی برای تفکر درباره فضاهای با ابعاد بالاتر وجود دارد، مانند برنامه‌ریزی حرکت ربات‌ها. فرض کنید در حال مطالعه حرکت سه ربات در کف یک کارخانه در انبار هستید. می‌توانید شبکه‌ای روی کف قرار دهید و موقعیت هر ربات را با مختصات x و y روی شبکه توصیف کنید. از آنجا که هر یک از سه ربات به دو مختصات نیاز دارد، برای توصیف همه موقعیت‌های ممکن ربات‌ها به شش عدد نیاز خواهید داشت. می‌توانید موقعیت‌های ممکن ربات‌ها را به‌عنوان یک فضای شش‌بعدی (6D) تفسیر کنید.
با افزایش تعداد ربات‌ها، بُعد فضا نیز افزایش می‌یابد. افزودن اطلاعات مفید دیگر، مانند مکان موانع، این فضا را پیچیده‌تر می‌کند. برای مطالعه این مسئله، باید فضاهای با ابعاد بالا را بررسی کنید.
مسائل علمی بی‌شمار دیگری وجود دارند که در آنها فضاهای با ابعاد بالا ظاهر می‌شوند، از مدل‌سازی حرکت سیارات و فضاپیماها گرفته تا تلاش برای درک «شکل» مجموعه‌های داده بزرگ.
گره‌خوردگی‌ها
نوع دیگری از مسئله که توپولوژیست‌ها مطالعه می‌کنند این است که چگونه یک فضا می‌تواند درون فضای دیگری قرار گیرد.
برای مثال، اگر حلقه‌ای گره‌خورده از طناب را نگه دارید، یک فضای یک‌بعدی (حلقه طناب) درون یک فضای سه‌بعدی (اتاق شما) دارید. چنین حلقه‌هایی به‌عنوان گره‌های ریاضی شناخته می‌شوند.
مطالعه گره‌ها ابتدا از فیزیک سرچشمه گرفت، اما به حوزه‌ای مرکزی در توپولوژی تبدیل شده است. این گره‌ها برای درک فضاهای سه‌بعدی و چهاربعدی توسط دانشمندان ضروری هستند و ساختاری جذاب و ظریف دارند که پژوهشگران هنوز در تلاش برای درک کامل آن هستند.
[تصویر: تصویرسازی از ۱۵ حلقه متصل طناب با تقاطع‌های مختلف. گره‌ها نمونه‌هایی از فضاهایی هستند که درون فضاهای دیگر قرار می‌گیرند. Jkasd/ویکی‌مدیا کامانز]
علاوه بر این، گره‌ها کاربردهای متعددی دارند، از نظریه ریسمان در فیزیک گرفته تا بازترکیب DNA در زیست‌شناسی و کایرالیتی در شیمی.
شما در چه شکلی زندگی می‌کنید؟
توپولوژی هندسی موضوعی زیبا و پیچیده است و هنوز پرسش‌های هیجان‌انگیز بی‌شماری درباره فضاها برای پاسخگویی وجود دارد.
برای مثال، حدس پوآنکاره صاف چهاربعدی به دنبال این است که «ساده‌ترین» فضای بسته چهاربعدی چیست، و حدس نواری-تکه‌ای در پی درک این است که گره‌ها در فضاهای سه‌بعدی چگونه با سطوح در فضاهای چهاربعدی مرتبط هستند.
توپولوژی در حال حاضر در علم و مهندسی مفید است. حل رازهای بیشتر فضاها در همه ابعاد برای درک جهانی که در آن زندگی می‌کنیم و حل مسائل واقعی جهان ارزشمند خواهد بود.
